Usando o método dos lugares geométricos (12)

Problema: Determinar uma circunferência com um dado raio, que passa por um ponto dado e é seccionada por uma reta segundo uma corda de comprimento dado.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.

Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

  1. Dados (a azul): dois segmentos, um de comprimento raio, outro de comprimento corda, uma reta $\;a\;$ e um ponto $\;P\;$ da circunferência

    Para resolver este problema, basta determinar um ponto $\;O\;$ para centro da circunferência nas condições definidas.
  2. O centro $O$ da circunferência estará à distância raio de $\;P\;$, isto é, será um dos pontos de $\;(P, \; \mbox{raio})\;$ - 1º lugar geométrico da lista.

    © geometrias, 18 de Março de 2014, Criado com GeoGebra


  3. Por outro lado, a circunferência de centro $\;O\;$ deve cortar $\;a\;$ num segmento de comprimento corda dado. Tirámos por $\;P\;$ uma perpendicular (auxiliar) a $\;a\;$ de pé $\;P_a\;$. Se tomamrmos este ponto como ponto médio do segmento $\;AB\;$ de comprimento corda podemos determinar um $\;P_0\;$ sobre a reta $\;PP_a\;$ para o qual $\;AP_0\;$ tem comprimento igual ao raio. Os centros $\;O_1, \;O_2\;$ sobre a paralela a $\;a\;$ tirada por $\;P_0\;$ (2º lugar geométrico da lista)
  4. Portanto, $\;O_1, \;O_2\;$ estão na interseção dos dois lugares geométricos - paralela à distância $\;P_aP_0\;$ de $\;a\;$ no semiplano $\;a, \;P\;$.
  5. As soluções são as circunferências $\;(O_1, \;\mbox{raio}\;)\;$ e $\;(O_2, \;\mbox{raio}\;)\;$.
  6. A perpendicular a $\;a\;$ tirada por $\;O_1\;$ interseta $\;a\;$ no ponto médio da corda $\;CD\;$ de comprimento igual corda dada. Do mesmo modo, para $\;O_2\;$

Podemos variar os comprimentos e as posições relativas do ponto e reta dados.