Com régua e compasso euclidianos, transferir distâncias


Na entrada anterior, provámos a equivalência entre o compasso euclidiano e o compasso moderno. Isso exigiu que, recorrendo exclusivamente ao compasso colapsante (postulado e aceite), determinássemos um ponto F tal que OF=AB, sendo O, A e B quaisquer pontos do plano.
Para demonstrar a Proposição II - De um ponto dado tirar uma linha recta igual á outra recta dada , Euclides usa a sua régua não graduada e o seu compasso colapsante. Os passos dessa construção são ilustrados na construção que se segue:

© geometrias, 16 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Sigamos os passos da construção, deslocando o cursor n.
  1. São dados três pontos O, A, B.
  2. Tomamos a circunferência de centro O a passar por A e a circunferência de centro A a passar por O que se cortam reciprocamente em D. Tirando as retas OA, OD e AD (Postulado I), a demonstração da proposição I, já feita, garante que OA=OD=AD e ADO é um triângulo equilátero
  3. Tomamos, em seguida as circunferências a passar por B centrada em A e a reta AD que, pelo postulado II, podemos prolongar até encontrar essa circunferência em E tal que AE=AB, pela Definição XV
  4. A circunferência de centro D a passar por E corta a reta OD (prolongada) em F tal que DF=DE, pela Definição XV.
  5. Como sabemos que são iguais as partes DO da reta DF e DA da reta DE , também são iguais as partes residuais OF de DF e AE de DE, para quem acredita no Axioma III. E, se de cousas eguaes se tirarem outras eguaes, os restos serão iguaes.
  6. Finalmente, como OF=AE e AE=AB, pelo Axioma I. As cousas, que são eguaes a uma terceira, são eguaes entre si. se conclui que OF=AB e por consequencia temos tirado do ponto O a linha recta OF egual a outra dada AB.
Tudo quanto é nova transcrição dos "Elementos" aparece em itálico com a grafia da versão latina de 1855 de Frederico Commandino, na Imprensa da Universidade de Coimbra disponibilizada "online" por Jaime Carvalho e Silva.