Quadratura das "garras de leonardo"



Usando noções comuns, definições e teoremas de "Os Elementos" de Euclides,
determinar um quadrado com a mesma área da figura preenchida a vermelho $\;-\;\fbox{n=1}\;-\;$ limitada exteriormente por 2 arcos de circunferências iguais (três quartos de uma e um quarto de outra) e interiormente por uma circunferência tangente aos dois arcos referidos.
Fazendo variar os valores de $\;\fbox{n}\;$ no cursor do topo à esquerda, pode seguir os passos da resolução/demonstração.




©geometrias, 26 maio 2016, Criado com GeoGebra




$\fbox{n=2}\;\;\;\;$ As duas circunferências iguais são centradas em $\;O\;$ e em $\;E\;$ e ambas a passar por $\;A\;$ e por $\;D.\;$ Os seus
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$arcos, que limitam exterioremente a figura dada, são $\;\widehat{DGA}\;$ da circunferência $\;E_A\;$ e $\;\widehat{AJD}\;$ de $\;O_A ,\;$ sendo
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$obviamente $\;\angle D\hat{O}A\;$ um ângulo reto.
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ A circunferência $\;M_G\;$ que limita interioramente a figura é tangente em $\;G\;$ a $\;\widehat{DGA}\;$ e em $\;J\;$ a $\;\widehat{AJD}, \;$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ sendo $\;GJ\;$ um dos seus diâmetros.
$\fbox{n=3}\;\;\;\;$ O quadrilátero $\;AODE\;$ é um quadrado por ser equilátero $\;AO=OD=DE=EA\;$ (raios de circunferências
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ iguais) e equiângulo (ângulos retos por construção e por serem os raios de uma tangentes à outra)
$\fbox{n=4}\;\;\;\;$ Também são quadrados (e iguais) $\;ABCD\;$ e $\;DLKA,\;$ de lado $\;DA\;$ inscritos respetivamente em $\;O_A\;$ e
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ $\;E_A .\;$ Como $\;AOD\;$ é um triângulo isósceles e retângulo em $\;O, \;$ $\;AD^2= 2\times AO^2, \;$ que é o mesmo que
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ dizer que a área de $\;ABCD\;$ é dupla da área de $\;AODE.\;$
$\fbox{n=5}\;\;\;\;$ O círculo $\;M_G\;$ é igual (e igual em área) ao círculo $\;O_H\;$ inscrito no quadrado $\;ABCD\;$ sendo o seu raio
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$metade do lado $\;AB\;$ do quadrado a ele circunscrito.
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$Como $\;HE = HO = AH = HD, \;$ o quadrado $\;AODE\;$ é igual em área a um qualquer quadrado inscrito
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ em $\,O_H\;$ ou em $\;M_G .\;$ Como a razão das áreas dos quadrados inscritos nas circunferências $\;O_A\;$ e $\;O_H\;$ é
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$de 1 para 2, também a razão entre as áreas dos círculos $\;O_H\;$ e $\;O_A\;$ é de 1 para 2 e a coroa circular limitada
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$por esses dois círculos tem área igual à do círculo menor $\;O_H\;$ ou do círculo $\;M_G .\;$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ Vimos assim que se ao círculo de centro $\;O\;$ que passa por $\;A\;$ subtrairmos o círculo de centro $\;M\;$ que
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ passa por $\;G\;$, restar-nos-á uma área igual à deste último círculo (que é em área é metade do primeiro.
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ Mas não chega. Para termos como resto a nossa figura vermelha, além de subtraírmos ao círculo $\;O_A\;$ o
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$círculo $\;M_G\;$ é preciso retirar $\;(AGDIA)\;$ ou $\;|AHDIA) + (AGDHA|\;$
$\fbox{n=6}\;\;\;\;$ Na entrada anterior, já vimos que a relação que existe entre as áreas destes bocados tracejados (entre cada
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$lado do quadrado inscrito numa circunferência e a circunferência) se relacionam na mesma razão existente
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$entre as áreas dos quadrados inscritos. No caso. como a área de $\;O_A\;$ é dupla da área de $\;M_G\;$, então
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$\;|AHDIA)\;$ vale dois dos bocados tracejados ente o quadrado $\;GSJT\;$ e a circunferência $\;M_G.\;$ O outro
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$bocado $\;(AGDHA|\;$ que é preciso retirar ainda ao $\;O_A\;$ vale os outros dois bocados entre $\;GSJT\;$ e $\;M_G\;$
$\fbox{n=7}\;\;\;\;$ Subtraímos ao círculo $\;O_A\;$ o círculo $\;M_G\;$ e ficámos com uma área igual à do círculo $\;M_G .\;$ Para termos
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$uma área igual à nossa figura inicial é ainda preciso subtrair a $\;M_G\;$ o equivalente a $\;(AGDIA),\;$ o que
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ fizemos. O que sobrou foi um quadrado de lado igual ao raio $\;OA\;$ do círculo maior $\;O_A\;$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ □



  1. EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885 edited, and provided with a modern English translation, by Richard Fitzpatrick
  2. David Joyce. Euclide's Elements
  3. George E. Martins. Geometric Constructions Springer. New York; 1997
  4. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2002
  5. Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and Bartlett Publishers, Boston: 1991.