Espiral de Arquimedes


A primeira espiral que é estudada no Tratado das Curvas (referido em entradas anteriores e na nota de rodapé) é a chamada Espiral de Arquimedes, no Tratado definida como lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ de uma semi-reta $\;\dot{A}P\;$ a rodar em torno do ponto $\;A\;$ dado, ao mesmo tempo que que se desloca sobre essa semi-reta a parir de $\;A\;$ sendo constante a velocidade dos dois movimentos. Para além do estudo da curva e das suas propriedades, o Tratado contém notas históricas sobre autorias da descoberta da curva e das demonstrações das suas propriedades.
A nossa entrada de hoje aborda só uma construção da Espiral, esclarecendo a definição. Para cada $\;P\;$ existe um ângulo $\;\alpha\;$ e ponto $\;D\;$ sobre $\;AB\;$ tal que $$\begin{matrix} & \cal{R} (A, \alpha)& \\ D& \mapsto & P\\ \end{matrix}$$ sendo que para cada $\;D\;$ de $\;AB\;$ haverá um $\;0 \leq k\leq 1\;$ tal que $\; P=A+k\times(B-A)\;$ (ou $\; \overrightarrow{AP}= k\times \overrightarrow{AB}$):

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A espiral construída é o conjunto de pontos $$\;\left\{\;P: \;AP = \displaystyle \frac{AB}{2\pi} \alpha\right\}\;$$ em que são dados $\;A, \;B\;$ e $\;\alpha\;$ toma valores no intervalo (de radianos) $\;[ 0, \; 2\pi ]. $
Francisco Gomes Teixeira. Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches (Tome II) Obras sobre Mathemática vol V, Imprimérie de l'Université. Coimbra: 1909