Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base circular. Isso está feito tomando dois feixes perspetivos V.ABC e V'.A'B'C', de tal modo que os pontos VA.V'A'=A'', VB.V'B'=B'' e VC.V'C'=C'' estão sobre uma mesma reta r''. Para determinar a imagem de um ponto qualquer D por essa projetividade, toma-se D''=VD.r'' e vem D'como interseção de V'D''com a circunferência. Convém reparar que variar r'' é variar a projetividade e, mantendo ABCD, forçosamente varia A'B'C'D', na projetividade de eixo r''
Como o eixo r'' inicialmente mostrado não interseta a circunferência, deslocando o ponto D ao longo dela, verá que D é sempre diferente de D'. A projetividade com este eixo não admite pontos duplos.
Se deslocar o eixo r'' de modo a ser tangente à circunferência, deslocando D sobre a circunferência verá que no ponto de tangência D=D'. Há um ponto duplo para a projetividade de eixo tangente à circunferência.
Se deslocar o eixo r'' de modo que seja secante, deslocando D poderá ver que D=D' nos dois pontos de interseção do eixo r'' com a circunferência. A projetividade de eixo secante tem dois pontos duplos.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Dois feixes perspetivos de centros sobre a circunferência (as retas correspondentes pela perspetividade encontram-se em pontos de uma mesma reta - eixo r'') determinam sobre a circunferência duas pontuais projetivas ABC→A'B'C'.Considerando a= VA, b=VB, c=VC, d=VD... e a'= V'A', b'=V'B', c'=V'C', d'=V'D'.... é óbvio que se podem deduzir a igualdade entre as razões duplas:
(abcd)=(A''B''C''D'')=(a'b'c'd')
A perspetividade entre dois feixes mantém a razão dupla. E Izquierdo chama razão dupla (ABCD) de quatro pontos da circunferência à razão dupla dos dos eixos VA, VB, VC, VD sendo V um ponto da circunferência. Assim, sendo perpsetivos os feixes que determinam sobre a circunferência {A, B, C, D} e {A', B', C', D'}, então (ABCD)=(A'B'C'D').
F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004