Em entrada anterior, introduzimos a noção de conjunto harmónico (AA)(BB)(CF) como secção do quadrilátero completo pela reta AB definida por dois pontos diagonais. À definição desse conjunto corresponde uma relação entre os pontos A,B,C,F que consiste em garantir que A e B são pontos diagonais de um quadrilátero completo e C e F são os pontos em que os lados que passam pelo terceiro ponto diagonal intersetam a reta AB. Indistintamente escrevemos H(AB,CF) para nos referirmos ao conjunto harmónico ou à relação correspondente. Na altura, concluímmos também que, num conjunto harmónico (AA)(BB)(CF), F é determinado unívocamente por A,B,C no rasto do que tínhamos visto para a secção do quadrilátero completo por uma reta que não incidisse em pontos diagonais ou vértices do quadrilátero.
3. Na construção seguinte, apresentamos um quadrilátero completo PQRS em que A=PS.QR, B=PR.QS C=RS.AB e PQ.AB=F. De facto, começámos por construir A, B, R e PQ a intersetar AB num ponto do infinito. Movimentando R e a reta PQ poderá observar que o conjugado harmónico de F é invariante. Tal como se esperava ABF define univocamente C do conjunto harmónico (AA) (BB)(FC). Será que pode conjeturar qual é a posição ou localização de C relativamente a A e B? (Pode deslocar A e B para ver se essa posição relativa se mantém invariante).
Poderia provar a sua conjetura considerando os instrumentos da geometrias euclideana? Em termos de geometria projetiva, o que podemos fazer? Abordaremos mais tarde este problema do ponto de vista da geometria projetiva.