o quadrangulo ortocêntrico é um quadrangulo especial

Vamos passar do triângulo e seu ortocentro da última entrada para quadrângulos / quadriláteros completos que foram abordados em muitas entradas ao longo dos anos de "bloGeometrias" sumariadas em geometria projetiva
Na entrada Para escrever sobre quadriláteros (completos), de 2/3/2012, apresentámos a definição de





A seguir apresenta-se uma ilustração do que seja um quadrangulo completo de vértices ABCZ e o que podemos chamar "cónica dos nove pontos". Tudo muito parecido com o que fizemos na entrada anterior. Só que tomamos um ponto $\;Z\;$ qualquer (que pode deslocar), para além de três pontos $\;A,\;B, \;C,\;$ não colineares e vértices de um triângulo, e dos seus lados $\;BC, \;CA, \;AB.\;$.

© geometrias. 26 junho 2016, Criado com GeoGebra


  1. O quadrangulo de 4 vértices $\;A, \;B,\;C, \;Z \;$ tem 6 lados $\;BC, \; CA, \;AB, \; BZ,\; CZ,\;AZ.\;$ No caso da nossa ilustração, as três retas que passam por $\;Z\;$ são cevianas do triângulo $\;ABC\;$ intersectando os lados deste em $\;P: \;AZ.BC, \;\; Q:\;BZ.CA, \;\; R: \; CZ.AC.\;$ A estes pontos que não são vértices chamamos pontos diagonais do quadrangulo e ao triângulo por eles formado se chama triângulo diagonal. Para os ver, clique no botão .
  2. À semelhança do que fizemos na entrada anterior, tomamos os pontos
    • $\;D, \;E, \;F\;$ médios de $\;BC, \;CA, \;AB. \;$ Para os ver, clique no botão
    • $\;K, \;L, \;M,\;$ médios de $\;AZ, \;BZ, \;CZ.\;$ Para os ver, clique em .
  3. Tomando quaisquer 5 pontos destes 9 pontos $\;D, \;E, \;F, \;K, \;L, \;M, \;P, \;Q, \;R,\;$ fica definida univocamente uma cónica que pode ver se clicar no botão . O mais interessante é que esta cónica passa obrigatoriamente pelos 4 restantes. Podemos chamar-lhe, por isso, cónica dos nove pontos



No caso de $\;Z\;$ coincidir com o ortocentro $\;H\;$ do triângulo $\;ABC\,$ ao triângulo $\;PQR\;$ diagonal do quadrângulo completo $\;ABCH\;$ chamou-se órtico ou pedal. E a cónica amarela que podemos ver a passar pelos pés $\;P, \;Q, \;R\;$ das cevianas (no caso particular das alturas) e pelos pontos $\;D, \;E, \;F, \;K, \;L, \;M, \;$ médios dos respetivos segmentos $\;BC, \;CA,\; AB, \; AH, \;BH, \;CH, \;$ é uma circunferência, como já provámos na entrada anterior.
Debrucemo-nos sobre o quadrangulo completo de vertices $\;A, \;B, \;C,\; H,\;$ sendo $\;H\;$ o ortocentro do triângulo $\;ABC.\;$

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  1. Se dois pares de lados opostos de um quadrilátero completo são os pares de linhas perpendiculares, os lados restantes são do mesmo modo perpendiculares.
    Já vimos antes que se $\;AP \perp BC, \;\;BQ \perp AC\;$ e $\;AP.BQ ={ H}\;$ então $\;CH \perp AB.\;$
  2. Ao quadrangulo completo de vértices $\;A, \;B, \;C,\; H,\;$ em que H é o ortocentro de $\;ABC\,$ chamamos quadrangulo ortocêntrico, do qual são lados $\;BC, \;CA, \;AB, \;HA, \;HB, \;HC\;$ sendo 3 pares $\;AH \perp BC; \;\;BH \perp CA; \;CH \perp AB\;$ de retas perpendiculares, e os pés das alturas são vértices do triângulo $\;PQR\;$ diagonal do quadrangulo completo $\;ABCH\,$ e triângulo órtico do triângulo $\;ABC\;$
  3. Cada vértice de um quadrilátero ortocêntrico é o ortocentro do triângulo formado pelos outros três vértices, isto é,
    • $\;H\;$ é ortocentro de $\; ABC, \;$ de acordo com a construção
    • $\;A\;$ é ortocentro de $\;HBC;\;$
    • $\;B\;$ é ortocentro de $\;HCA;\;$
    • $\;C\;$ é ortocentro de $\;HAB.\;$
    Para exemplo, consideremos o triângulo $\;HAB.\;$ A altura relativa a $\;H\;$ (perpendicular a $\;BC\;$ tirada por $\;H\;$) é $\;HP;\;$ a altura relativa a $\;B\;$ ($\;\perp_B CH\;$)é $\;BR; \;$ a altura relativa a $\;C\;$ ( $\;\perp_C BH\;$) é $\;CQ\;$ e, $\;C\;$ é o ponto comum a $\;HP,\;BR, \;CQ, \;$ ou seja, $\;C\,$ é o ortocentro de $\;HAB.\;$


  1. Coxeter. Real Projective Plane University Press. Cambridge; 1961
  2. Coxeter. Introduction to Geometry John Wiley and Sons, Inc. New York: 1961