Na entrada Para escrever sobre quadriláteros (completos), de 2/3/2012, apresentámos a definição de
- quadrangulo completo, como
o conjunto formado por quatro pontos $\;{A,\;B,\;C,\;D},\;$ dos quais não há três colineares, a que chamamos vértices e, pelas seis retas $\;{AB,AC,AD,BC,BD,CD}\;$ definidas pelos pares de pontos existentes, a que chamamos lados. Dois lados consideram-se opostos quando se intersetam em pontos que não $\;A, \;B, \;C, D,\;$ ou seja, em pontos que não são vértices, no caso, $\;E,\;F,\;G.\;$ Esses 3 pontos tomam o nome de pontos diagonais -
e a sua dual de quadrilátero completo, como
o conjunto formado pelas quatro retas $\;{a\;,b,\;c,\;d},\;$ das quais não há três incidentes num ponto, e a que chamamos lados, e, pelos seis pontos $\;{a.b,\;a.c,\;a.d,\;b.c,\;b.d,\;c.d}\;$ definidos pelos seis pares de retas existentes a que chamamos vértices. Dois vértices consideram-se opostos quando definem uma reta que não é qualquer dos quatro lados $\;a, \;b, \;c, \;d,\;$ a saber, $\;a.d\;$ e $\;b.c,\;\; a.c\;$ e $\; b.d, \;\;a.b\;$ e $\;c.d.\;$ As retas definidas por vértices opostos chamam-se retas diagonais, no caso, $\;e,\;f,\;g.\;$
A seguir apresenta-se uma ilustração do que seja um quadrangulo completo de vértices ABCZ e o que podemos chamar "cónica dos nove pontos". Tudo muito parecido com o que fizemos na entrada anterior. Só que tomamos um ponto $\;Z\;$ qualquer (que pode deslocar), para além de três pontos $\;A,\;B, \;C,\;$ não colineares e vértices de um triângulo, e dos seus lados $\;BC, \;CA, \;AB.\;$.
© geometrias. 26 junho 2016, Criado com GeoGebra
- O quadrangulo de 4 vértices $\;A, \;B,\;C, \;Z \;$ tem 6 lados $\;BC, \; CA, \;AB, \; BZ,\; CZ,\;AZ.\;$ No caso da nossa ilustração, as três retas que passam por $\;Z\;$ são cevianas do triângulo $\;ABC\;$ intersectando os lados deste em $\;P: \;AZ.BC, \;\; Q:\;BZ.CA, \;\; R: \; CZ.AC.\;$ A estes pontos que não são vértices chamamos pontos diagonais do quadrangulo e ao triângulo por eles formado se chama triângulo diagonal. Para os ver, clique no botão .
- À semelhança do que fizemos na entrada anterior, tomamos os pontos
- $\;D, \;E, \;F\;$ médios de $\;BC, \;CA, \;AB. \;$ Para os ver, clique no botão
- $\;K, \;L, \;M,\;$ médios de $\;AZ, \;BZ, \;CZ.\;$ Para os ver, clique em .
- Tomando quaisquer 5 pontos destes 9 pontos $\;D, \;E, \;F, \;K, \;L, \;M, \;P, \;Q, \;R,\;$ fica definida univocamente uma cónica que pode ver se clicar no botão . O mais interessante é que esta cónica passa obrigatoriamente pelos 4 restantes. Podemos chamar-lhe, por isso, cónica dos nove pontos
No caso de $\;Z\;$ coincidir com o ortocentro $\;H\;$ do triângulo $\;ABC\,$ ao triângulo $\;PQR\;$ diagonal do quadrângulo completo $\;ABCH\;$ chamou-se órtico ou pedal. E a cónica amarela que podemos ver a passar pelos pés $\;P, \;Q, \;R\;$ das cevianas (no caso particular das alturas) e pelos pontos $\;D, \;E, \;F, \;K, \;L, \;M, \;$ médios dos respetivos segmentos $\;BC, \;CA,\; AB, \; AH, \;BH, \;CH, \;$ é uma circunferência, como já provámos na entrada anterior.
Debrucemo-nos sobre o quadrangulo completo de vertices $\;A, \;B, \;C,\; H,\;$ sendo $\;H\;$ o ortocentro do triângulo $\;ABC.\;$
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Se dois pares de lados opostos de um quadrilátero completo são os pares de linhas perpendiculares, os lados restantes são do mesmo modo perpendiculares.
Já vimos antes que se $\;AP \perp BC, \;\;BQ \perp AC\;$ e $\;AP.BQ ={ H}\;$ então $\;CH \perp AB.\;$ - Ao quadrangulo completo de vértices $\;A, \;B, \;C,\; H,\;$ em que H é o ortocentro de $\;ABC\,$ chamamos quadrangulo ortocêntrico, do qual são lados $\;BC, \;CA, \;AB, \;HA, \;HB, \;HC\;$ sendo 3 pares $\;AH \perp BC; \;\;BH \perp CA; \;CH \perp AB\;$ de retas perpendiculares, e os pés das alturas são vértices do triângulo $\;PQR\;$ diagonal do quadrangulo completo $\;ABCH\,$ e triângulo órtico do triângulo $\;ABC\;$
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Cada vértice de um quadrilátero ortocêntrico é o ortocentro do triângulo formado pelos outros três vértices, isto é,
- $\;H\;$ é ortocentro de $\; ABC, \;$ de acordo com a construção
- $\;A\;$ é ortocentro de $\;HBC;\;$
- $\;B\;$ é ortocentro de $\;HCA;\;$
- $\;C\;$ é ortocentro de $\;HAB.\;$
- Coxeter. Real Projective Plane University Press. Cambridge; 1961
- Coxeter. Introduction to Geometry John Wiley and Sons, Inc. New York: 1961