COLINEAÇÃO PERSPETIVA


Na construção que se segue, os dois triângulos PQR e P'Q'R' estão relacionados por uma perspetividade de centro O. O Teorema de Desargues garante que esses triângulos são perspetivos em relação a uma reta o.
Será que esta perpetividade de centro O é uma colineaçao?
Usando o resultado sobre colineações projetivas entre dois quadriláteros, vamos provar que isso é verdade.
Como vimos no anterior artigo, há uma só colineação projetiva que transforma o quadrângulo DEPQ em DEP'Q'. Esta colineação projetiva transforma a reta o=DE em si mesma e a reta PQ em P'Q', deixa invariante o ponto o.PQ=F=o.PQ'. E, como aceitámos, se uma projetividade deixa invariantes três pontos de uma reta, então deixa invariantes todos os pontos da reta o. Para essa colineação projetiva, as duas retas PP' e QQ' são invariantes e incidem no ponto O, também ele invariante. O ponto R=DQ.EP é transformado em DQ'.EP'=R'. O dual do segundo axioma do artigo anterior "Se uma projetividade deixa invariantes cada uma de três retas passando por um ponto O, então qualquer reta passando por O é imagem de si mesma por essa projetividade", garante que para a projetividade DEPQ→DEP'Q', são invariantes todas as retas passando por O.
Do mesmo modo, a colineação projetiva que relaciona os quadrângulos EFQR e EFQ'R' para a qual E e F são invariantes transforma QR em Q'R' e a colienação projetiva que relaciona DFPR e DFP'R' transforma PR em P'R' e DF em si mesma.
Fica assim demonstrado que a perspetividade de centro O, a relacionar três retas que se inersetam duas a duas sobre retas do feixe de centro O, é uma colineação.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Esta colineação relacionando dois triângulos perspetivos chama-se naturalmente colineação perspetiva.
O ponto O e a reta o, a partir dos quais os triângulos são perspetivos, tomam os nomes de centro e eixo da colineação perspetiva.