novos lugares geométricos, as mesmas cónicas (4)

Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado nas entradas anteriores, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma circunferência $\;(O, \; r)\;$ e de uma reta$\;a\;$ que a interseta.


Na nossa construção,
$\;\; \fbox{n=1}:\;\;$ é dada a circunferência $\;(O, \; r)\;$ e uma reta $\;a\;$ que a interseta em $\;B, \;C\;$.
Fazendo variar os valor de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=}\;$, pode seguir os passos da resolução do problema de construção do lugar geométrico dos pontos equidistantes de $\;a\;$ e de $\;(O, \;r).\;$ Usando os pontos $\;A \;$ e $\;T\;$ pode variar a posição da reta $\;a\;$
$\;\; \fbox{n=2}:\;\;$ A reta definida por $\;A\,$ e $\;O\;$ interseta a circunferência no ponto $\;T\;$ que é o ponto da circunferência mais próximo de $\;a.\;$ A distância de $\;a\;$ à circunferência é, pois, $\;AT= r-AO\;$ e o ponto médio do segmento $\;AT\;$ é equidistante de $\;a\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos. Para determinar outros pontos $\;Q\;$ equidistantes de $\;a\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ tomamos um ponto $\;D\;$ variável da circunferência e a tangente em $\;D\;$ perpendicular a $\;DA\;$ que contém os segmentos de reta cujos comprimentos são distâncias de pontos à circunferência. Os pontos $\;Q\;$ equidistantes da circunferência e da reta encontram-se como interseções de $\;a\;$ com as bissetrizes dos ângulos $\;D\hat{G}A\;$ das tangentes nos ponto $\;D\;$ com a reta $\;\;a\;$.

© geometrias, 11 de Dezembro de 2014, Criado com GeoGebra




$\;\; \fbox{n=3}:\;\;$ Quando o ponto $\;D\;$ percorre o arco $\;BTC\;$ da circunferência, os pontos $\;Q\;$ do semiplano determinado pela reta $\;a\;$ e pelo ponto $\;T\;$ percorrem um arco de parábola de foco $\;O\;$ e diretriz $\;d_1\;$ determinada de modo análogo ao usado na entrada anterior.
$\;\; \fbox{n=4}:\;\;$ Para determinar outros pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;a\;$ e da circunferência, procedemos de modo inteiramente análogo usando um ponto $\;E\;$ do arco $\;CEB\;$ da circunferência no outro dos semi-planos definidos pela reta $\;a\;$ .
$\;\; \fbox{n=5}:\;\;$ E de modo análogo, vimos que quando $\;E\;$ percorre o arco da circunferência, $\;P\;$ percorre um arco de parábola de foco $\;O\;$ e diretriz $\,d_2\;$
Claro que estas duas parábolas (que se intersetam nos pontos $\;B, \;C\;$ e em que a reta $\;a\;$ interseta $\;(O, \;r)\;$ de que apresentámos um arco de cada) constituem o lugar geométrico dos pontos equidistantes da circunferência e da reta $\;a\;$ que a intersete em dois pontos distintos. Separámos os arcos para $\;D\;$ e $\;E\;$ para simplificar a figura.
$\;\; \fbox{n=6}:\;\;$ Poderá verificar o que atrás afirmamos seguindo a animação de um ponto $\;M\;$ que percorre a circunferência, para o qual se determinam pontos das duas bissetrizes do ângulo formado pela tangente em $\;M\;$, perpendicular a $\;OM,\;$ e a reta $\;a\;$. Para cada ponto $\;M\;$ estão determinados sobre essas bissetrizes dois pontos equidistantes de $\;a\;$ e de $\;(O, \;r)\;$. Estes pontos estão sobre as duas parábolas referidas.
Deslocando $\;A\;$ até que este coincida com $\;T\;$ pode ver que o lugar geométrico é formado por uma reta que passa por $\;O\;$ pelo ponto de tangência da reta com a circunferência e por uma parábola
Se a reta $\;a\;$ passa por $\;O\;$ o lugar geométrico é constituído por duas parábolas que se intersetam nos extremos de um diâmetro da circunferência.