novos lugares geométricos, as mesmas cónicas (3)

Vamos nesta entrada prosseguir o trabalho iniciado nas entradas anteriores, construindo o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma circunferência $\;(O, \; r)\;$ e de uma reta $\;a\;$ que não interseta essa circunferência.


Na nossa construção,
  1. é dada a circunferência $\;(O, \; r)\;$ e uma reta $\;a\;$ que a não interseta;
  2. a reta perpendicular a $\;a\,$ tirada por $\;O\;$ interseta a circunferência no ponto $\;B_0\;$ que é o ponto da circunferência mais próximo de $\;a.\;$ A distância de $\;A_0\;$ à circunferência é, pois, $\;A_0B_0= r-A_0O,\;$, já que $\;A_0\;$ é exterior à circunferência, e o ponto $\;P_0,\;$ médio do segmento $\;A_0B_0\;$ é equidistante de $\;A_0\;$ e de $\;(O, \;r)\;$ e, por isso, é um ponto do lugar geométrico que procuramos;


  3. © geometrias, 8 de Dezembro de 2014, Criado com GeoGebra




  4. para determinar outros pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;a\;$ e da circunferência, lembremo-nos que a distância de pontos $\; P\;$ à circunferência é medida sobre a reta $\;PO\;$. Tomando um ponto $\;B\;$ da circunferência, variável, a existir cada um dos pontos $\;P\;$ que procuramos, estará sobre alguma reta $\;BO,\;$ com $\;B\;$ a percorrer a circunferência. Como a distância $\;PB\;$ de $\;P\;$ à circunferência terá de ser igual a $\;PA, \;$ $\;P\;$ terá de ser um ponto da bissetriz do ângulo formado pela tangente em $\;B\;$ e por $\;a\;$, para cada $\;B\;$ da circunferência;
  5. como sabemos para cada ponto $\;B,\;$ há um ponto $\;P\;$ para o qual $\;AP= PB,\;$ sendo $\;AP \perp a, \;$ e sobre a reta $\;AP\;$ há um ponto $\;U\;$ tal que $\;AU=r\;$ ou $\;PU = PO.\;$ $\;PU\;$ é a distância de $\;P\;$ à reta $\;d\;$ paralela a $\;a\;$ e que dela dista $\;r, \;$ como se pode ver na nossa figura.
  6. Os pontos $\;P\;$ equidistantes de $\;a\;$ e de $;(O, \;r)\;$ são equidistantes de $\;O\;$ e de $\;d\;$, isto é, estão sobre uma parábola de diretriz $\;d\;$ e de foco $\;O.\;$
    Clicando sobre o botão $\;\fbox{|>}\;$ poderá ver a curva que o ponto $\;P\;$ percorre.
    Na nossa construção, consideramos a reta $\;a\;$ não secante nem tangente à circunferência $\;(O, \;r)\;$ e os pontos $\;B\;$ da circunferência tais que $\; \angle A_0Ô B \leq \displaystyle \frac{\pi}{2} .\,$ Veremos outras construções com outras restrições em próximas entradas.