Considere-se a construção que se segue (parte esquerda) em que se têm duas circunferências, c1 (verde) de centro O1 e c2 (cinza) de centro O2. A polar ST (vermelha) de O1 pela polaridade induzida por c2 é a polar de O2 pela polaridade induzida por c1. Sempre que se verificam estas relações entre duas circunferências, dizemos que elas se cortam ortogonalmente ou são ortogonais.

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Na parte esquerda da construção, temos as duas circunferências e temos desenhadas as tangentes a c2 tiradas por O1 e as tangentes a c1 tiradas por O2. Lembremos noções, propriedades e resultados estudados na geometria elementar euclidiana:
  1. Da circunferência c1, O1T=O1S=r1, O1ST é isósceles. Do mesmo modo, O2ST é isósceles. O1O2 e ST, diagonais do papagaio (deltóide), são mediatrizes uma da outra. O1O2 e ST são perpendiculares (ortogonais, normais)
  2. Cada tangente à circunferência é perpendicular ao raio (reta que passa pelo centro da circunferência e pelo seu ponto de tangência). E, em consequência: O1TO2 = O2TO1 é um reto. Fica assim esclarecido a designação de ortogonais para as circunferências: O1T O2T é normal a O1T.
  3. Na construção acima, ainda fica ilustrado o facto de o diâmetro de uma de duas circunferências ortogonais ser cortado pelas duas circunferências em pares de pontos separados harmonicamente: o diâmetro CD de c2 corta c1 em {Å, B}: (A,B;C, D)=-1 (confirmado pelo quadrilátero, cor violeta na construção). Reciprocamente, se uma circunferência passa pelos pontos A, B conjugados harmónicos de outros C, D, então ela é ortogonal à circunferência de diâmetro CD.
Na parte direita da construção temos uma circunferência de centro O e P e Q conjugados relativamente a ela. Tendo em atenção as anteriores propriedades, poderá verificar que:
  1. Se P e Q são conjugados relativamente a uma circunferência de centro O, a circunferência de diâmetro PQ (centro O') é ortogonal à circunferência de centro O.
    Se Q é conjugado de P pela polaridade induzida pela circunferência de centro O, então Q está sobre a polar p de P. Como PO é uma reta que contém um diâmetro da circunferência de centro O é perpendicular à polar p de P. Se chamarmos A à interseção de p com PO, a circunferência de diâmetro PQ passa por A. Chamando B e C às interseções de PO com a circunferência de centro em O, sabemos que P e A separam harmonicamente os pontos B e C, por A estar sobre a polar de P e a circunferência de centro O' (diâmetro PQ) é ortogonal à circunferência de centro O.
  2. E, reciprocamente, Se duas circunferências (de centros O e O') são ortogonais, pontos P e Q diametralmente opostos de uma delas são conjugados relativamente à polaridade induzida pela outra.
    Tracemos um diâmetro PQ da circunferência de centro O' e unamos P com O, centro da outra. Por serem ortogonais, o quaterno (PABC) é harmónico e, em consequência, A pertence à polar p de P relativamente à circunferência de centro O e como PAQ é retângulo em A (já que PQ é um diâmetro), QA é perpendicular a PO e passa por A, logo p=AQ é a polar de P e, por isso, Q é conjugado de P relativamente à polaridade induzida pela circunferência de centro O.


F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980