círculos gémeos em triângulos semi-quadrados

Problema: É dado um quadrado $\;[ABCD],\;$ dividido pela diagonal $\;BD\;$ em dois triângulos isósceles iguais. O triângulo $\;ABD\;$ está dividido por $\;DP\;$ em dois triângulos $\;[APD]\;$ e $\;[PBD]\;$ que admitem incírculos congruentes.
Determinar o raio destes incírculos em função do lado do quadrado.
  1. Na anterior entrada de 18.10.14 Triângulo dividido em dois triângulos com incírculos gémeos demonstrámos que para um triângulo, como $\;[DAB]\;$ na figura, $\;DP = \displaystyle \sqrt{p(p-a)},\;$ em que $\; a=AB=DA, \;2p= DA+AB+BD. \; \;$
    Este resultado permite determinar, com régua e compasso, $\;PD\;$ e os triângulos $\;[APD]\;$ e $\;[PBD]\;$ que circunscrevem as circunferências gémeas.

  2. © geometrias, 25 de Outubro de 2014, Criado com GeoGebra


    Clicando no botão "□azulejo" pode ver o quadrado com seis círculos gémeos, assim construídos.

  3. No triângulo $\;[DAB],\;$ como $\;DA=AB = a\;$ e $\;DB=\sqrt{2} a,\;$
    o seu semi-perímetro é $\;p = \displaystyle \frac{2a+\sqrt{2} a}{2} =a+\frac{\sqrt{2}}{2} a\;\;\;$ e $\;\;\;\;p-a =\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} a.\;$
    E, em consequência, $\;DP^2 = p(p-a) = \displaystyle \left(a+\frac{\sqrt{2}}{2} a \right) \frac{\sqrt{2}}{2} a = \frac{\sqrt{2}+1}{2} a^2\;$
    Obtém-se assim o valor de $\;DP\;$ em função de $\;a\;$.
    E, claro, podemos obter também imediatamente uma expressão para $\;AP\;$ em função de $\;a:\;$
    $\; AP^2 = PD^2 - DA^2 = \displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{2} a^2 - a^2 = \left(\frac{ \sqrt{2} +1}{2} -1\right) a^2 = \frac{\sqrt{2}-1}{2} a^2\;$

  4. Por outro lado, na entrada de 13.9.14 Círculo "misto" de um triângulo retãngulo mostrámos que o raio $\;k\;$ do incírculo de um triângulo $\;[PDA]\;$ retângulo em $\;A\;$, é dado por $\;k= \displaystyle \frac{DA+AP-PD}{2}.\;$

    Assim, em função de $\;a\;$ o valor de $\;k\;$ é:
    $\; \displaystyle \frac{1}{2} (DA+AP-PD) = \frac{1}{2}\left( a + \displaystyle \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} a - \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} a \right).\;$
    Concluindo $$k= \frac{a}{2}\left( 1 + \displaystyle \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} - \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\right)$$

J. Marshall Unger, A collection of 30 Sangaku Problems, Ohhio State University.
(sugestões de António Aurélio Fernandes)