Nesta entrada, partimos de um triângulo $ABC$ e os pés das suas bissetrizes interiores e exteriores, a saber: $D$ e $G\;\;\;$ $(\hat{A})\;\;\;$ consideramos as circunferências de diâmetros; $E$ e $H\; \;\;$ ($hat{B}$); $F$ e $K$ ($\hat{C}$).
A ideia é apresentar propriedades das circunferências de diâmetros $[DG]$, $[EH]$ e $[FK]$.
Ora vejamos:
  1. A circunferência de diâmetro $[EH]$ sobre $AC$ passa por $B$, já que as bissetrizes $BE$ e $BH$ são perpendiculares.

  2. Se considerarmos a inversão definida por uma circunferência de centro em $A$ e raio qualquer, a circunferência de diâmetro $[EH]$ é transformada numa circunferência de centro em $C'$ ($E$ e $H$ separam harmonicamente $A$ e $C$; ver A razão harmónica por outra via, uma entrada de 19/02/2010).
  3. Por razões análogas,
    — a circunferência de diâmetro $[DG]$ sobre $BC$ passa por $A$ e a circunferência de diâmetro $[FK]$ sobre $AB$ passa por $C$ — pela inversão de centro em $A$ e raio qualquer, a transformada da circunferência de diâmetro $[FK]$ é uma circunferência de centro em $B'$ e a transformada da circunferência de diâmetro $[EH]$ é uma circunferência de centro em $C'$.
  4. Cada uma destas circunferências de centros em $B'$ e em $C'$ passa pelo centro da outra. Se $S$ é um ponto de interseção das duas circunferências, $[B'SC']$ é um triângulo equilátero e as tangentes em $S$ às duas circunferências fazem um ângulo de $120^{o}$, como bem ilustra a figura a seguir
  5. Claro que a circunferência de diâmetro $[DG]$ que passa por A também passa pelo ponto de interseção das circunferências de diâmetros $[EH]$ e $[FK]$. Chamemos $N$ a um desses pontos de interseção. Por $N$ estar sobre a circunferência de diâmetro $[EH]$, $$\frac{NA}{NC}=\frac{AB}{BC} \Leftrightarrow BC\times NA= AB \times NC$$ e de modo análogo, já que N pertence à círcunferência de diâmetro $[FK]$, $$ AC\times NB = BC \times NA$$ de onde se tira $$AC\times NB= AB \times NC \Leftrightarrow \frac{NB}{NC}=\frac{AB}{AC} \;\; ,$$ ficando assim demonstrado que $N$ é também ponto da circunferência de diâmetro [DG] que passa por $A$. $\square$
Notas:
Estes circulos com diâmetros dados pelos pés das bissetrizes são ou designam-se por círculos de Apolónio
Os resultados desta entrada ajudam a determinar uma inversão que transforma um triângulo qualquer num triângulo equilátero.