triângulos medial e pedal; o ortocentro e o círculo de 9 pontos

Nada de novo vamos publicar nesta entrada, só pequenas ligações que nos escapam muitas vezes.
$\fbox{n=0}\;\;\;$ A ilustração inicial mostra três pontos $\;P, \;Q,\;R,\;$ não colineares, os segmentos $\;QR, \;$ $RP,\;$ $PQ\;$ lados do triângulo acutângulo $\;PQR,\;$ e a circunferência $\;(PQR),\;$ que passa pelos três pontos e que dizemos circunscrita ao triângulo $\;PQR.\;$ O centro desta circunferência está a igual distância dos três pontos dados, ou seja, na intersecção das mediatrizes de $\;QR,\;$ $RP,$ $PQ\;$


© geometrias. 23 junho 2016, Criado com GeoGebra


$\fbox{n=1}\;\;\;$ Sendo $\;A, \;B, \;C\;$ os pontos médios de $\;PQ, \;QR, \;RP,\;$ respetivamente, $\; BC \parallel PQ, \; AC\parallel QR, \; AB \parallel RP.\;$ Porque $\;A, \;B,\;C, \;$ são os pontos médios dos lados de $\;PQR\;$, a $\;ABC\;$ chama-se triângulo medial do triângulo $\;PQR.\;$ Olhemos para as retas das alturas do triângulo $\;ABC:\;$ a altura relativa a $\;BC\;$ é a mediatriz de $\;PQ\;$ - perpendicular a $\;BC\;$ e à sua paralela $\;PQ\;$ e é tirada por $\;A\;$ ponto médio de $\;PQ,\;$ - e por idênticas razões, a reta da altura relativa a $\;CA\;$ é a mediatriz de $\;QR\;$ e a reta da altura relativa a $\;AB\;$ é a mediatriz de $\;RP.\;$ De um modo geral: as mediatrizes de um triângulo são as retas das alturas do seu medial.
$\fbox{n=2}\;\;\;$ As três alturas $\;AD, \;BE,\; CF\;$ de um triângulo $\;ABC\;$ concorrem num ponto $\;H\;$ a que chamamos ortocentro do triângulo $\;ABC\;$.
$\;D, \;E, \;F\;$ são os pés das perpendiculares tiradas pelos vértices $\;A, \;B, \;C,\;$ aos respetivos lados opostos $\;BC\;, \;CA, \;AB. \;$ E ao triângulo $\;DEF\;$ cujos vértices são os pés das perpendiculares chamamos triângulo pedal (ou órtico) do triângulo $\;ABC.\;$
O circuncentro do triângulo $\;PQR\;$ é o ortocentro $\;H\;$ do seu medial $\;ABC\;$\
$\fbox{n=3}\;\;\;$ Sendo $\;H\;$ o ortocentro de $\;ABC\;$ então todos os pontos $$\textbf{L, M, N, L', M', N',}$$ respetivamente médios dos seis segmentos $$\;BC, \; CA, \;AB, \; HA, \;HB,\;HC, \;$$ e $$\textbf{D, E, F, } $$ pés das alturas de $\;ABC,\;$ são cocíclicos ou dito de outros modos: ou incidem sobre uma mesma circunferência; ou existe uma circunferência a passar por esses nove pontos.
De facto, por $\;L, \;M, \;N,\;$ serem pontos médios dos lados do triângulo $\;ABC,\;$ sabemos que $\;BL=LC=MN, \; CM=MA=NL, \;AN=NB=LM\;$ e $\;MN \parallel BC, \; NL \parallel AC, \; LM \parallel AB. \;$ E, por $\;L, \;N', \;N',\; $ serem pontos médios dos lado do triângulo $\;HBC,\;$ sabemos que $\;BL=LC=N'M', \;CN'=N'H=M'L, \;HM'=M'B=LN', \;$ e $\;N'M' \parallel BC, \;M'L \parallel CH, \; LN'\parallel HB.\;$
E por razões análogas, $\;MN'=AL'=NM'\;$ e $\;MN'\parallel AL'\parallel NM'\;$
Podemos concluir que $\;MNM'N'\;$ é um retângulo dois lados paralelos a $\;BC\;$ e outros dois paralelos a $\;AD\;$ que é perpendicular a $\;BC\;$ e também $\;LN'L'N\;$ por idênticas razões é um retângulo. Como $\;LL'\;$ é hipotenusa do triângulo $\;LDL'\;$ retângulo em $\;D, \;$ há uma circunferência de diâmetro $\;LL'\;$ a passar por $\;D, \;N, N'. \;$ Sendo $\;N'MN\;$ um triângulo retângulo em $\;M\;$ há uma circunferência de diâmetro $\;N'N\;$ que passa por $\;M, \; M', F.\ ;$ E também, por idênticas razões, $\;MM'\;$ é diâmetro de uma circunferência que passa por $\;N, \; N', E.\;$ .
Fica assim provado que a circunferência que passa por $\;D,\;E,\;F, \;$ também passa por $\;L, \;M, \;N, \;L',\;M, \;N',\;$ como queríamos provar.
$\fbox{n=4}\;\;\;$ O circuncírculo do triângulo $\;DEF\;$ órtico ou pedal do triângulo $\;ABC\;$ é o círculo dos nove pontos ou de Feuerbach deste triângulo $\;ABC. \;$ O circuncírculo do triângulo medial de $\;ABC\;$ é também o circuncírculo do triângulo pedal e círculo dos nove pontos de $\;ABC\;$.


  1. Coxeter. Real Projective Plane University Press. Cambridge; 1961
  2. Coxeter. Introduction to Geometry John Wiley and Sons, Inc. New York: 1961