círculo "misto" de um triângulo retângulo

Problema: Tomados 3 pontos que definem um triângulo $\;[ABC]\;$ retângulo em $\;C\;$ e um círculo (circuncírculo do triângulo), construa-se o círculo tangente interiormente aos dois catetos e ao circuncírculo.

Clicando nos botões de "mostra/esconde" à esquerda, poderá ver os diversos círculos, segmentos e pontos que podem ajudar a perceber a construção e as relações que se estabelecem.
  1. Dados $\;A. \;B, \;C, \;a=BC, \; b=CA, \;c=AB\;$ tais que $\;BC \perp \;CA\;$ e, em consequência, $\;a^2+b^2=c^2\;$
  2. Clicando no botão "circuncírculo", aparece um círculo de centro $\;O\;$ que passa pelos pontos $\;A. \;B, \;C\;$ de raio $\;R=OA=OB=OC.\;$ No triângulo retângulo $\; O\;$ é o ponto médio da hipotenusa $\;AB\;$ e, por isso, de comprimento $\;\displaystyle \frac{c}{2}\;$. Como sabemos, $\; \displaystyle \left(\frac{c}{2}\right)^2 = OA^2=OB^2=OC^2 = ON^2 + OM^2 = \displaystyle \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2$

  3. © geometrias, 12 de Setembro de 2014, Criado com GeoGebra



  4. Clicando no botão "mista/solução" ficamos com a figura correspondente ao problema já resolvido. Temos o círculo $\;\left(O, \; R=\displaystyle \frac{c}{2}\right)$ e o círculo $\;(O_1, \;r_1)\;$ tangente a $\;BC, \; CA\; (O, \; R) $. Analisar o problema de construção resolvido, esclarece como o resolvemos de facto.
    • Como $\;(O_1, \;r_1)\;$ é tangente interiormente a $\;\left(O, \; R=\displaystyle \frac{c}{2}\right)$, $\;OP=R=\displaystyle \frac{c}{2}=OO_1+ r_1\;$ e, em consequência, $\;OO_1=\displaystyle \frac{c}{2} -r_1\;$
    • O triângulo $\;OO_1Z\;$ é retângulo em $\;Z\;$, e $\;OO_1 ^2 =O_1Z^2 + ZO^2.\;$
      Ora $\;O_1Z=O_1V-ON= r_1-\displaystyle\frac{a}{2}\;$ e $\;OZ=OM-MZ=\displaystyle \frac{b}{2} - r_1\;$
    • Finalmente, $$\displaystyle \left( \frac{c}{2} -r_1 \right)^2 =\left( r_1-\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\displaystyle \frac{b}{2} - r_1\right)^2\;$$ $$\left( \frac{c}{2}\right)^2 +\left(r_1 \right)^2 - c.r_1 = \left( r_1\right)^2+ \displaystyle\left(\frac{a}{2}\right)^2 -r_1.a + \left(\displaystyle \frac{b}{2}\right)^2 +\left( r_1\right)^2 -b.r_1\;$$ $$c^2+4.r_1 ^2 -4cr_1 = 4r_1^2+a^2-4ar_1 +b^2+4r_1^2 -4br_1$$ E, como $\;c^2 = a^2 + b^2, $, podemos simplificar, obtendo $$ -4cr_1 =-4ar_1-4br_1+4r_1^2$$ ou finalmente $$\fbox{$r_1= a+b-c$}$$
    Esta análise feita sobre a figura do problema resolvido permite-nos construir a circunferência mista/solução. Como esta circunferência é tangente a $\;CA\;$ e a $\;BC\;$,, o seu centro $\;O_1\;$ está à distância $r_1= a+b-c$ de cada um dos catetos, é a interseção da perpendicular a $\;C\;$A tirada por um ponto $\;V\;$ tal que $\;VC =a+b-c\;$ com a perpendicular a $\;BC\;$ tirada pelo ponto $\;W\;$ tal que $\;WC=a+b-c.\;$
  5. Clique agora no botão "incirculo", para ver o círculo tangente interiormente aos três lados do triângulo. Pode esconder as construções anteriores clicando no botão da direita alta para reiniciar ou usando os botões ocultar "circuncírculo" e "mista/ solução" caso estejam vísiveis. Como sabemos o centro do incírculo é equidistante dos três lados do triângulo, ou seja é o ponto de interseção das três bissetrizes.
  6. Calculemos, em função de $\;a, \;b,\;c\;$ dados, o comprimento do inraio $\;r =IJ=IK=IL:\;$
  7. Vimos assim que, para qualquer triângulo retângulo, se verifica a seguinte relação: o raio - $\;r_1 \;$ - da circunferência tangente aos dois catetos e ao circuncírculo do triângulo é o dobro do raio - $\;r\;$ - do incírculo, circunferência tangente aos 3 lados do triângulo

Problema de construção, a partir de A collection of 30 Sangaku Problems, de J. Marshall Unger, Ohhio State University.