3D: um Lugar Geométrico para um ângulo de visão


Enunciado:
[1]Problemas de Geometria. pp 213 Problemas de Geometria no espaço; Secção H - Lugares Geométricos:
H 2- Hallar ele lugar geométrico de los puntos $\;P \;$ de um plano, desde los que se ve bajo un ángulo recto, un segmento de recta $\;AB\;$ no situado en dicho plano.

Determinar o lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ de um plano a partir dos quais se vê segundo um ângulo reto um segmento de reta $\;AB\;$ não contido nesse plano.
1 Dados:
Apresenta-se o plano $\;a\;$ e o segmento de reta $\;AB.\;$



© geometrias. 8 agosto 2016, Criado com GeoGebra


2 De qualquer dos pontos $\;E\;$ que não sejam $\;A\;$ ou $\;B\;$ de uma circunferência de diâmetro $\;AB,\;$ vê-se o segmento $\;AB\;$ segundo um ângulo reto, isto é, $\;\angle A\hat{E}B\;$ é um reto.
3 As circunferências de diâmetro $\;AB\;$ varrem a superfície da esfera de diâmetro $\;AB.\;$ Por isso, os pontos do espaço dos quais se vê $\;AB\;$ segundo um ângulo reto são os pontos da superfície esférica de diâmetro $\;AB,\;$ exceptuando obviamente os seus dois pontos $\;A\;$ e $\;B\;$
4 Se o plano $\;a\;$ intersectar a superfície esférica de diâmetro $\;AB\;$ há pontos $\;P\;$ do plano dos quais se vê o segmento $\;AB\;$ segundo um ângulo $\;\angle(\widehat{\dot{P}A, \dot{P}B})\;$ reto. No caso da nossa construção o lugar geométrico é a circunferência amarela
Notas
  1. O lugar geométrico reduzir-se-á a um só $\;P\,$ se o plano $\;a\;$ for tangente à superfícies esférica de diâmetro $\;AB\;$ e só se o ponto de tangência não for qualquer dos $\;A, \;B, \;$
  2. No caso da nossa construção o plano $\;a\;$ intersecta a superfície esférica e, por isso, o lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ estão sobre a circunferência de intersecção.
  3. Não haverá quaisquer pontos a partir dos quais se veja o segmento $\;AB\;$ segundo um ângulo reto caso o plano não intersecte a superfície esférica de diâmetro $\;AB\;$ (ou como já vimos caso o plano e a esfera sejam tangentes num dos extremos do diâmetro $\;A\;$ ou $\;B\;$)




  1. Ubaldo Balanzategui e Ignacio Sala. Problemas de Geometria. Open Libra. Se puede visualizar y descargar aquí en formato pdf : http://oa.upm.es/14866/1/PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA.pdf