3D: um Lugar Geométrico e a Homotetia

Vamos usar a "folha gráfica 3D" em GeoGebra5, para ilustrar conceitos e resolver problemas de construção. Vamos enfrentar as nossas limitações e falta de experiência no uso do Geogebra e, por isso agradecem-se todos os conselhos e dicas que achem por bem fornecer aos aprendizes. Usaremos ideias pescadas aqui e ali: n'OS Elmentos como sempre, em apontamentos de iniciativas do IGP e da APM (Alexandre Trocado e José Manuel dos Santos por um lado, Cristina Cruchinho, João Almiro e Raúl Aparício por outro, estes últimos que vão estudando connosco a partir de materiais já antes experimentados em Cabri3D). Aqui sobrará um rasto de facilitismo de Verão, classificação que as nossas dificuldades não merecem. Também pode acontecer que não haja a quem pedir desculpa, por não haver quem dê por estas tentativas de aprender a construir
Hoje tentamos uma ilustração dinâmica de um problema de construção sugerido no livro "Problemas de Geometria" de Ubaldo Balanzategui e Ignacio Sala, referido por Joaquim Marques de Argoncilhe numa entrada de página fb do grupo Recursos de Matemática encimada. por um comentário " … Este tem mais desenhos que o blogue de Arsélio Martins…" Arsélio, Aurélio e Mariana agradecem a referência esclarecendo que os poucos desenhos do Arsélio são de um mundo diferente do GEOMETRIAS, por este ser projeto de construções dinâmicas[2] a ilustrar teoremas e problemas de construção com régua e compasso e nada mais… Muito obrigado pela nota sobre o livro.

Enunciado:
[1]Problemas de Geometria. pp 213 Problemas de Geometria no espaço; Secção H - Lugares Geométricos:
H 1- Se da una circunferencia C y un punto O fuera de su plano. Hallar el lugar geométrico de los puntos que dividen en una relación dada, a los segmentos limitados por el punto O y los puntos de la circunferencia.

Para um dado um ponto $\;O\;$ que não incida no plano de uma dada circunferência de centro $\;C\;$ designada $\;(C),\;$ determinar o lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ que dividem numa dada razão $\;k,\;$ os segmentos que unem $\;O\;$ com cada um dos pontos da circunferência $\;(C)\;$.
1 Dados:
Apresenta-se o ponto $\;O, \;C\;$ e a circunferência de centro em $\;C.\;$



© geometrias. 29 julho 2016, Criado com GeoGebra


2 No segundo passo, mostram-se planos que passam por $\;O\;$ e $\;C\;$ e cortam o círculo em segmentos a passar por $\;O, \;$, i.e. segundo diâmetros $\;AB\;$
3 No terceiro passo, mostra-se o segmento $\;OA\;$ variável com $\;A\;$ de $\;(C)\;$ e o ponto $\;P \in OA:\;OP= k\times OA, \;$ no caso da nossa ilustração $\;k=0.7.\;$
4E, do mesmo modo, se traçaram os segmentos $\;OC, \; OB\;$ e sobre estes, respetivamente, os pontos $\;D\;$ e $\;E\,$ tais que $\;OD= k \times OC\;$ e $\;OE=k \times OB:\;$ $$\frac{OP}{OA} = \frac{OD}{OC} = \frac{OE}{OB} = k $$ Para cada $\;A,\;$ os dependentes $\;P, \;D, \;E, \;$ são colineares e a incidir num plano paralelo ao plano da circunferência $\;(C).\;$
Como para cada $\;A\;$ de $\;(C)\;$ e $\;AC=CB, \;$ no plano $\;OCA\;$ os pontos $\;P, \;D, \;E\;$ sobre $\;PE\;$ paralela a $\;AB\;$ são tais que $\;PD=DE\;$, ou seja $\;P\;$ é um ponto de uma circunferência $\;(D)\;$ sobre um plano paralelo ao plano de $\,(C)\;$.
5 O lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ tais que $\;OP = k\times OA\;$ é a circunferência da figura que mostra como $\;P\;$ a traça.
Se considerarmos uma homotetia, transformação geométrica do espaço com centro $\;O\;$ e razão $\;k\;$, que a cada ponto $\;Q\;$ do espaço faz corresponder um ponto $\;Q'\;$ determinado sobre a reta $\;OQ\;$ por $\;OQ'= k \times OQ,\;$ uma circunferência $\;(C, r)\;$ é transformada numa outra $\;(C', r')\;$ em planos paralelos, sendo $$\displaystyle \frac{OC'}{OC} = \frac{r'}{r} =k $$

É claro que, quando $\;A\;$ percorre $\;(C),\; \;\;\; OA\;$ varre a superfície cónica de vértice $\;O\;$ e base $\;(C)\;$


  1. Ubaldo Balanzategui e Ignacio Sala. Problemas de Geometria. Open Libra. Se puede visualizar y descargar aquí en formato pdf : http://oa.upm.es/14866/1/PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA.pdf
  2. e cada construção dinâmica é mais que um complexo de muitos desenhos que exigem o recurso a máquinas e a contribuição de muitas pessoas, muito para além das possibilidades de uma pessoa com um lápis na mão,... assim fala Aurélio que de tudo desdenha