3DLG: das intersecções de planos a passar por um ponto e a intersectar um plano dado segundo retas paralelas


Enunciado:
H 2- Problemas de Geometria. pp 214 Problemas de Geometria no espaço; Secção H - Lugares Geométricos:
H 4- Se dan sobre un plano P, dos puntos A y B, y se da un punto O exterior a dicho plano. Hallar el lugar geométrico de las rectas OD intersección de los dos planos M y N, que pasando respectivamente por OA y OB, cortan al plano P según dos rectas paralelas
[1]
São dados dois pontos $\;A, \;B\;$ sobre um dado plano e um ponto $\;O\;$ a ele exterior. Considerem-se pares de planos a passar por um ponto O exterior ao plano dado e que intersectam o plano dado segundo retas paralelas tiradas por $\;A\;$ e $\;B.\;$ Determinar o lugar geométrico das intersecções desses pares de planos.
1 Dados:
Apresentam-se um plano - a vermelho -, dois pontos $\;A,\;B\;$ - a azul - nele incidentes e $\;O\;$ a ele exterior.





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2 Começamos tomar todos os pares de retas (a castanho) paralelas do plano dado em que uma delas passa por $\;A\;$ e outra passa por $\;B.\;$
3 Mostramos os pares de planos ( a castanho transparente) em que um deles passa por $ \;A,\;O\;$ e o outro passa por $\;B,\;O\;$ e que intersectam o plano dado em retas paralelas (a castanho), uma a passar por $\;A\;$ e outra a passar por $\;B.\;$
4 Finalmente tomamos a cinzento claro a reta de intersecção de cada par destes planos.
Como a figura ilustra, essas retas assim determinadas varrem um plano que passa por $\;O\;$ e paralelo ao plano dado. Cada uma dessas retas é paralela a duas retas do plano dado, por construção e por Prop 15 Livro 11 dos Elementos[2].


  1. Ubaldo Balanzategui e Ignacio Sala. Problemas de Geometria. Open Libra. Se puede visualizar y descargar aquí en formato pdf: http://oa.upm.es/14866/1/PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA.pdf
  2. EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885 edited, and provided with a modern English translation, by Richard Fitzpatrick
    Book 11.Proposition 15 - If two straight-lines joined to one another are parallel (respectively) to two straight-lines joined to one another, which are not in the same plane, then the planes through them are parallel (to one another).