3DLG: Pontos cujas distâncias a dois planos têm soma dada

A 13 de Abril de 2014, na entrada Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (18) abordámos o problema de construção do lugar geométrico dos pontos para os quais as suas distâncias a duas retas dadas têm uma dada soma. E ficamos a saber que O lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a duas retas dadas têm uma soma dada estão sobre os lados de um retângulo cujas diagonais são segmentos das retas dadas.

Enunciado:
[1]Problemas de Geometria. pp 213 Problemas de Geometria no espaço; Secção H - Lugares Geométricos:
H 3- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos planos, es constante.

Determinar o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois planos é constante.
1 Dados:
Apresentam-se dois planos - um verde e outro azul. No caso da nossa construção, tomamos 4 para soma constante das distâncias aos dois planos.





© geometrias. 7 setembro 2016, Criado com GeoGebra


2 Começamos por intersectar os dois planos dados por um plano a eles perpendicular. Desse modo, obteremos o ângulo dos dois planos dados e poderemos determinar pontos desse plano cuja soma das distâncias aos dois planos dados é 4.
3 Mostramos as retas de intersecção de cada um dos planos dados com o plano que lhes é perpendicular. Estas retas -uma a erde e outra a azul - são os lados de um representante dos ângulos dos planos dados.
4 Mostramos agora as bissetrizes dos ângulos que as retas fazem e também a reta intersecção dos planos dados (a vermelho, na figura)
5 Mostra-se o retângulo (que construímos como foi feito para o problema de construção do lugar geométrico referido acima) cujos vértices (a negro) são pontos dos lados (a cinzento) dois em cada uma das retas ou lados dos ângulos, cada um deles à distância nula da reta em que incide e à distância 4 da outra reta). Cada uma das bissectrizes corta dois lados do retângulo em pontos equidistantes dos lados do ângulo (a metade da soma das distâncias, no caso 2)
6 Mostramos os planos bissectores dos planos dados, cada um deles definido pela reta de intersecção dos planos dados e por uma das bissectrizes
7 Finalmente apresentamos uma ilustração a castanho da superfície lateral de um prisma retangular, reto e infinito gerado pelo retângulo que construímos num plano perpendicular aos dois planos dados.
Os lados do retângulo (lugar geométrico dos pontos cujas distâncias aos lados de um ângulo representante do ângulo dos planos dados) são segmentos de retas perpendiculares às bissectrizes com extremidades sobre os lados dos ângulos. As faces laterais onde se encontram os pontos do espaço para os quais a soma das distâncias a dois planos é uma dada constante (4, na nossa construção) são faixas de planos perpendiculares aos planos bissectores (entre os planos dados).


  1. Ubaldo Balanzategui e Ignacio Sala. Problemas de Geometria. Open Libra. Se puede visualizar y descargar aquí en formato pdf : http://oa.upm.es/14866/1/PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA.pdf