Atente na figura dinâmica imediatamente abaixo.
Por X, variável sobre a tangente à circunferência em P, passam duas tangentes XP e XT. Por isso, OT=OP e XP=XT e, em consequência, os ângulos POX=XOT. Por X'=XT.QQ', passam duas tangentes à circunferência X'T e X'Q' e são congruentes ângulos Q'OX' e X'OT. Ou, ainda pela mesma razão, QOP=P'OQ'. XOT=(POT)/2 e X'OT=(Q'OT)/2 XOT+X'OT=(POQ')/2=POQ, constante para cada par (P,Q), e, finalmente, XOT+X'OT=XOX'= POQ.
Por favor habilite Java para uma construï¿?ï¿?o interativa (com Cinderella).
Pode mover T, P ou Q'
Quer dizer que, para qualquer tangente por T, variável sobre a circunferência, os pontos de intersecção dela com a tangente em P e com a tangente em Q', X e X', são tais que o ângulo XOX' é constante ou é independente de T. Isto é o mesmo que dizer que as retas do feixe, centrado em O, das retas OX' e OX estão relacionadas por uma rotação de centro O e ângulo de amplitude igual à de POQ. Os feixes assim construídos, x=OX e x'=OX', são congruentes e, portanto, projetivos. O ângulo formado por quaisquer duas retas do feixe x é transformado por rotação de centro O e amplitude POQ num ângulo de duas retas do feixe x', logo igual. As razões duplas de 4 retas do feixe x e das correspondentes do feixes x' são, por isso, iguais. E assim acontecerá para as razões duplas dos pontos correspondentes nas secções por PQ e Q'P'. Pode deslocar T sobre a circunferência e verá assim que, pela projetividade entre as pontuais X e X', quando X=P é X'=P' e que, quando X'=Q' é X=Q. Para além de significar que os pontos P, Q, P', Q' fazem parte das pontuais projetivas, também significa que PQ e P'Q' são posições possíveis das retas XX'.

As pontuais de pontos X sobre PQ e X' sobre Q'P' são secções por PQ e Q'P' dos feixes x e x' centradas em O que são projetivos. E as retas XX' que passam pelos pontos correspondentes das pontuais projetivas têm um só ponto comum com a circunferência.
Este conjunto de retas XX' é um feixe de segunda ordem por ser um conjunto de retas definidas por por pontos homólogos de duas pontuais de primeira ordem projetivas e não perspetivas e de bases distintas. Diz-se que a cónica é a envolvente das retas deste feixe de segunda ordem.
A pontual de segunda ordem é uma curva de segunda ordem (cónica) que contém os vértices V e V' dos feixes projetivos e não perspetivos que a geram por intersecção das retas correspondentes.
O feixe de segunda ordem é envolvido por uma curva de segunda ordem (cónica) que contém as bases das pontuais, projetivas e não perspetivas, que a geram por ligação dos pontos correspondentes
Pode assim definir-se uma cónica como base de uma forma elementar de 2ª ordem (pontual ou feixe).
Chama-se razão dupla de 4 tangentes de um feixe de 2º ordem à razão da pontual que se obtém cortando essas 4 retas tangentes por uma outra tangente qualquer.

Segue-se uma ilustração das pontuais, projetivas não perspetivas, em distintas bases, feixes centrados em O, ângulos e razões duplas calculadas, etc.
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Pode deslocar os pontos de tangência


Finalmente apresentamos uma construção do eixo da projetividade definida pelas pontuais A, B, C e A', B', C' que é a reta PQ' e ilustramos com uma reta XX' em que X é variável sobre PQ e X' é determinado usando o eixo da projetividade definida. Pode animar a figura e verificar como XX' em todas as suas posições mantém um ponto de contato com a circunferência e como o conjunto das retas XX' formam a circunferência.

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Pode controlar a animaçao e mover os pontos P e Q'

O eixo da projetividade é a reta que passa pelos pontos de tangência das bases das pontuais projetivas. Sabemos que a reta PQ' é a polar do ponto P' ou Q (ponto duplo da projetividade) Se as bases PQ e P'Q' se encontrarem num ponto do infinito, o eixo de projetividade (ou a polar do ponto no infinito das bases) passa pelo centro da circunferência.

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004