Definimos recentemente a razão simples uma pontual de três pontos A, B, C incidentes numa reta r=ABC tendo escolhido uma orientação (positiva) : (ABC) = AB/AC (segmentos orientados da mesma direção r, no caso AB=B-A é positivo se A está à esquerda de B).
Dualmente, terá sentido falar de razão simples de um feixe de três retas a, b, c incidentes num ponto comum V=a.b.c tendo escolhido uma orientação em torno desse ponto? Na construção que se segue, temos um ponto V, um sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, três retas a, b, c incidentes em V.
Definimos a razão simples de a, b, c do seguinte modo: (abc)=sen(ab)/sen(ac), em que (ab) e (ac) são ângulos orientados de duas retas, sempre que <)ab está entre 0º e 180º sen(ab)≥0 e sempre que está entre 180º e 360º sen(ab)≤0 o que dá para efeitos da razão simpes os mesmos valores caso considerássemos <)ab entre -180º e 0º.
(abc)=sen(ab)/sen(ac) tem comportamento semelhantes a (ABC)=AB/AC:
  1. quando a=b, (abc)=0
  2. quando a=c, (abc)=±∞
  3. quando a está entre b e c (abc)<0
  4. ...
Na construção abaixo, também considerámos uma secção por uma reta r não incidente em V: A=a.r, B=b.r, C=c.r, podendo constatar que a razão simples (ABC) não é igual à razão simples (abc) e que (ABC) varia com r.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode fazer variar a,b,c e r na figura.

Ao fundo da construção estão ilustrados os resultados que ilustram a lei dos senos e permitem estudar a relação entre (abc) e (ABC): Ilustra-se na figura que AB/sen(ab)=VB/sen(ar). Do mesmo modo será AC/sen(ac)=VC/sen(ar) e, em consequência, AB/sen(ab)=VB e AC/sen(ac)=VC e (AB/AC)=(sen(ab)/sen(ac)).(VB/VC). Conclui-se assim que:
(ABC)=(abc).(VB/VC)
(ABC)=(abc) sse VB=VC.
F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004