semicircunferência, círculos e triângulos (II)

Problema: No interior de uma semicircunferência de diâmetro $\;AB\;$ uma circunferência é tangente nos pontos médios do seu diâmetro e do arco da semicircunferência. Há dois círculos, coloridos na imagem, tangentes ás retas que unem A e B com os pontos de interseção da semicircunferência com as tangentes à circunferência, inscrita na semicircunferência, tiradas por $\;A\;$ e por $\;B.\;$ Determinar os raios dos círculos coloridos em função do diâmetro $\;AB\;$ dado.

Clique no botão de mostrar e ocultar "Auxiliares" para tornar visiveis pontos e segmentos auxiliares e as designações que lhe foram atribuídas para acompanhar a descrição da construção e dos cálculos.
Na anterior entrada, vimos algumas relações entre os triângulos da figura e os elementos definidores. Com base na nossa figura, determinámos as posições dos pontos de tangência $\;M, \; N\;$ e os centros $\;J\;$ e de $\;K\;$ . Há várias construções auxiliares que nos apareceram como necessárias às determinações de $\;MJ\;$ e $\;KN\;$ em função de $\;AB.\;$ Não desistimos de tentar resolver esse problema com recurso exclusivo à nossa figura base e a resultados básicos. Mariana Sacchetti apresentou uma resolução, a seguir transcrita aqui.

© geometrias, 20 de Setembro de 2014, Criado com GeoGebra


1.
Começa por lembrar os termos usados: $\;AB=4r, \; AD=AM= 2r, \; OM=r\;$ e da semelhança de triângulos $\;ADE \sim OME\;$ retângulos em $\;D\;$ e $\;M\;$ retira $$\frac{AE}{OE} =\frac{AD}{OM}≈\frac{DE}{ME} = 2,$$ por ser $\;AD=2r\;$ e $\;OM=r.\;$. E a partir destas proporções constantes, retira
$$ \begin{matrix} DE=2ME & \mbox{ou} & r+OE=2ME&& OE=2ME-r & & \ldots& & OE = \frac{5}{3}r\\ &&&\Longleftrightarrow&&\Longleftrightarrow& &\Longleftrightarrow&\\ AE=2OE & \mbox{ou} & 2r+ME=2OE & & 2r+ME =4ME-2r& &3ME=4r&&ME=\frac{4}{3}r \\ \end{matrix} $$ Da semelhança $\;OME \sim HMB\;$ ambos retângulos em $\;M\;$ retira $$\frac{HB}{OE}=\frac{HM}{OM}=\frac{MB}{ME} =\displaystyle\frac{3}{2},$$ por ser $\;MB=2r\;$ e $\; ME=\displaystyle \frac{4r}{3}\;$ (como vimos antes). Assim sendo $\; \displaystyle OE = \frac{5}{3}r,\;$ como vimos antes, e $\; \displaystyle \frac{HB}{OE} = \frac{3}{2},\;$ então $\; HB= \displaystyle \frac{3}{2} \times \frac{5}{3}r ,\;$ $$ HB= \frac{5r}{2}.$$ E, analogamente, por ser $\;OM =r, \;$ e $\;HM=\displaystyle \frac{3}{2}\times r, \;$ $$HM= \frac{3r}{2}.$$
2.
A circunferência $\;(J)\;$ do círculo amarelo está inscrita no triângulo $\;ABH\;$ isósceles ($\;AH=HB = \displaystyle \frac{5r}{2}\;$) de perímetro $2p =AB+BH+HA=4r+ 2\frac{5r}{2}=9r, \;$ cuja área é, por um lado, $$\Delta ABH = \displaystyle\frac{AB\times HM}{2} =\frac{4r \times {3r}{2}}{2} =6r^2$$ e por outro, como produto do seu semiperímetro $\;p = \displaystyle\frac{9r}{2}\;$ pelo raio da circunferência nele inscrita, no caso $\;MJ\;$ $$\Delta ABH = p\times MJ = \frac{9r}{2} MJ$$ de onde se retira, $\;6r^2 =\displaystyle \frac{9r}{2} MJ$ e, finalmente $$MJ= \frac{2r}{3} \;\;\; \mbox{ou}\;\;\; MJ= \frac{AB}{6}. $$
3.
A relação entre os valores de $\;NK\;$ e $\;AB\;$, obtém-se rapidamente da relação anterior e de outra $\;NK = \frac{MJ}{3}\;$ já estabelecida na entrada anterior: $$NK = \frac{MJ}{3}= \frac{\displaystyle\frac{2r}{3}}{3} =\frac{2r}{9} \; \;\; \mbox{ou} \,\;\; NK =\frac{AB}{18} \;\;\; \;\square$$