Divisão harmónica, média harmónica, inversão (1)


Alguns problemas com exportações para htaml5, java-applets, etc levaram-nos a tentar usar exportações para cindyjs como antes tentámos compreender o sistema para introduzir os textos xml *.job do CaR (como aliás acontece em GEOMETRIAGON). Falta-nos tempo (ou sobra-nos tempo em anos de idade) para estudarmos html, java, etc.
Esta entrada só serve para experimentar a exportação para CindyJS que, para além do mais, permite-nos ver em IOS e Android para além dos vários clássicos sistemas operativos.

A construção da entrada A divisão harmónica é o que parece já não se vê. Reconstruímos, pelo menos em parte.

Sobre uma reta, tomamos um quaterno harmónico de pontos (A,B;C,D) com recurso a um quadrângulo completo construído a partir dos pontos (A,B, C) que, como já vimos antes, determinam sobre a mesma reta um ponto D que varia se houver variações no terno (A, B, C) mas não depende das posições dos vértices do quadrângulo P,Q,R,S.
Usamos a notação AC para designar o segmento orientado desde A até C(seus extremos). Deslocando pontos verdes Q, R pode ver como D é invariante.Deslocando A ou B ou C pode seguir as diferentes variações nos valores calculados e comparar os resultados
Os resultados que se seguem são ilustrados na construção dinâmica e aqui não são provados.
  • AC / CB= - AD / DB

  • Tomado um círculo (O,OB) de diâmetro AB, prova-se que OB2 = OC . OD que é o mesmo que dizer que pela inversão (ou reflexão) relativamente à circunferência de diâmetro AB, C é transformado de D. Claro que A é o inverso de B relativamente à circunferência de diâmetro CD, ou seja, MC2 =MD2=MA.MB sendo M o ponto médio de CD

  • Ainda se ilustra com cálculo numérico o seguinte resultado para o quaterno harmónico (A,B;C,D) :
    |AB|= (1/|AC|) + (1/|AD|)/2 ou |AB| = (2|AC|.|AD|)/(|AC+AD|)
    ou seja: |AB| é a média harmónica de |AC| e |AD|.

  • Richter-Gebert,J; Kortenkamp, U. The Cinderella.2 Manual - Working with the INteactive Geometry Software Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg:2012