Um triângulo equilátero preso a 3 circunferências pelos vértices

Apresentámos já soluções para os problemas de existência de um triângulo equilátero preso pelos vértices a três retas paralelas e a três circunferências concêntricas dadas. Sempre com recurso a transformações geométricas, nestes casos, a rotações. Hoje apresentamos o problema da existência de um triângulo equilátero preso pelos vértices a circunferências não concêntricas.

Solução

Criado com R&C

Tomado um ponto $\;A\;$ numa das circunferências para vértice que prende o triângulo à circunferência $\;(O,\;X)\;$ rodamos de 60° em torno de $\;A\;$ a circunferência $\;(P. \;Y),\;$ obtendo uma circunferência $\;(P’, PY)\;$ em que $\;P’\;$ é a imagem de $\;P\,$ pela $\;Rot\;(A, \;60°),\;$ num dos sentido, (contrário ao dos ponteiros do relógio no caso). O vértice $\;C\;$ preso a $\;(Q, \;Z)\;$ é um dos pontos da intersecção $\;(P’,\; PY) \cap (Q,\;QZ).\;$. Para obter o vértice $\;B\;$ basta rodar $\;C\;$ de 60° em sentido contrário, claro.
Como aconteceu para o caso das circunferências concêntricas, também neste caso há uma ou várias soluções ou nenhuma solução para o problema. No nosso caso, para qualquer $\;A\;$ de $\;(O,\;X)\;$, existem $\;B,\;$ em $\;(P,\;Y)\;$ e $\;C\;$ em $\;(Q,\;Z), \;$ tais que $\;BC=CA=AB.\;$ Mais do que um par, claro, já que $\;(P’,\;PY) . (Q,\;Z)\;)$ tem mais que um ponto.